Описанные окружности

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$$\angle ACB = \frac{360^\circ}{5}\cdot\frac{1}{2} = 36^\circ$$

Так как угол $\angle ACB$ вписанный, он равен половине дуги на которую он опирается.

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = \frac{1}{2}(360^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AC} - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{BC}) = \frac{1}{2}(360^\circ - 200^\circ - 80^\circ) = 40^\circ$$

Пусть градусная мера дуги $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$ , не содержащей точку $C$ равна $7x$. Тогда градусная мера дуги $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$ содержащая точку $C$ равна $5x$.

$$5x + 7x = 360^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ$$

Так как угол $ACB$ вписанный:

$$\angle ACB = \frac{1}{2}\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = \frac{1}{2}\cdot 7x = \frac{1}{2}\cdot7\cdot30^\circ = 105^\circ$$

Обозначим меньшую дугу окружности за $x$. Имеем:

$$x + 3x + 5x = 360^\circ \Leftrightarrow x = 40^\circ$$

Больший угол треугольника будет опираться на большую дугу окружности. Так как углы вписанные, они равны половине дуги на которую опираются:

$$\angle C = \frac{5x}{2} = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ$$

Угол $AOD$ – центральный угол. Он равен дуге на которую опирается. Градусная мера меньшей дуги $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AD}$ равна:

$$\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AD} = 180^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$$

Угол $\angle ACB$ вписанный и равен половине меньшей дуги $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$

Значит меньшая дуга $\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}$:

$$\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 2\cdot\angle ACB = 2\cdot38^\circ = 76^\circ$$

Найдём угол $\angle AOD$

$$\angle AOD = 180^\circ - \overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB} = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$