Параллелограммы и ромбы

Пусть диагонали равны $3x$ и $4x$. Тогда сторона ромба: $$a = \sqrt{\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2} = \frac{5x}{2}$$

Периметр ромба: $$4a = 4 \cdot \frac{5x}{2} = 10x = 200 \Rightarrow x = 20$$

Площадь ромба: $$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{60 \cdot 80}{2} = 2400$$

Где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.

Высота ромба: $$S = h\cdot a \Leftrightarrow h = \frac{S}{a} = \frac{2400}{50} = 48$$

$$\angle AED = \angle EDC \quad (\text{накрест лежащие углы})$$ $$\angle ADE = \angle EDC \quad (DE\text{ биссектриса})$$

Значит:

$$\angle AED = \angle ADE$$

Следовательно треугольник $ADE$ равнобедренный и $AD = DE$.

Аналогично можем показать, что $EBC$ равнобедренный треугольник и $EB = BC$.

В итоге:

$$AB = AE + EB = AD + BC = 5+ 5 = 10$$

Рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle AED = \angle EDC$ так как они накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$. Так как $DE$ биссектриса, выходит, что:

$$\angle ADE = \angle EDC = \angle AED$$

Значит треугольник $ADE$ равнобедренный и $AD = AE$.

Пусть $AD = AE = 4a$

Тогда $AB = 7a$

Запишем периметр параллелограмма:

$$P_{ABCD} = 2(AD + AB) = 2(4a + 7a) = 22a = 88 \Leftrightarrow a = 4$$

Найдём большую сторону параллелограмма: $$AB = 7a = 7\cdot4 = 28$$

Пусть углы параллелограмма равны $3x$ и $7x$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$:

$$3x + 7x = 180^\circ$$ $$10x = 180^\circ$$ $$x = 18^\circ$$

Больший угол: $$7x = 7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$$

Сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма равна $180^\circ$.

Тогда $\angle A + \angle B = 180^\circ$

Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Угол между биссектрисами равен:

$$180^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2} = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$