Параллелограммы и ромбы

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами: $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$

Известно: $$a = 9, \quad h_a = 10$$ $$b = 15, \quad h_b - ?$$

Где $a$ и $b$ стороны параллелограмма, а $h_a$ и $h_b$ — высоты, опущенные к этим сторонам. ($b$ – б'{о}льшая сторона)

Найдем площадь через меньшую сторону: $$S = 9 \cdot 10 = 90$$

Теперь найдем высоту, опущенную на большую сторону: $$90 = 15 \cdot h_b$$ $$h_b = \frac{90}{15} = 6$$

Площадь параллелограмма: $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$

Известно: $$S = 40, \quad a = 5, \quad b = 10$$

Где $a$ и $b$ стороны параллелограмма, а $h_a$ и $h_b$ — высоты, опущенные к этим сторонам. ($b$ – б'{о}льшая сторона)

Найдем высоты: $$h_a = \frac{S}{a} = \frac{40}{5} = 8$$ $$h_b = \frac{S}{b} = \frac{40}{10} = 4$$

Большая высота равна $8$.

Запишем площади фигур через их стороны:

Площадь прямоугольника:

$$S_1 = a\cdot b$$

Площадь параллелограмма:

$$S_2 = a\cdot b \cdot \sin a$$

Где: $a\text{ и } b$ – стороны фигур, а $\sin a$ – синус угла между соседними сторонами параллелограмма.

По условию:

$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{1}{2}$$

$$\sin a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 30^\circ \quad \text{или} \quad a = 150^\circ$$

Пусть $H$ б'oльшая высота, тогда:

$$S_{ABCD} = AB\cdot AD \cdot \sin A = AB \cdot H \Rightarrow H = AD \cdot \sin A = 21\cdot \frac{6}{7} = 18$$

Диаметр оркужности, вписанной в ромб, равен высоте ромба. Найдём высоту ромба записав площадь ромба двумя способами:

$$S_{ABCD} = AB\cdot AD\cdot \sin 30^\circ = AB\cdot h \Leftrightarrow h = AD\cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = d$$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{d}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = 0,25$$