Трапеции

Рассмотрим треугольник $ACB$ и $PCN$.

$\frac{CN}{CB} = \frac{1}{2}$ так как $N$ – середина $CB$.

Треугольники подобны по двум углам с коэффициентом подобия:

$$\frac{CN}{CB} = \frac{PN}{AB} = \frac{CP}{AC} =\frac{1}{2} \Rightarrow PN = \frac{AB}{2} = 5$$

Пусть $AB = 7$

1. Найдём высоту трапеции $BH$:

Так как сумма односторонних углов равна $180^\circ$:

$$\angle BAH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$ $$h = BH= AB \cdot \sin 30^\circ = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3,5$$

1. Вычислим площадь: $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{18 + 6}{2} \cdot 3,5 = 42$$

1. Найдём высоту трапеции:

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$$ $$72 = \frac{27 + 9}{2} \cdot BH$$ $$72 = BH$$ $$BH = 4$$

1. Найдём острый угол: В прямоугольном треугольнике $ABH$: $$\sin \angle BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{4}{8} = 0.5$$ $$\angle BAH = 30^\circ \quad \text{так как угол острый}$$

Опустим высоту $CH$ к $AD$.

По условию $\angle CDH = 45^\circ$. Тогда треугольник $CDH$ прямоугольный равнобедренный треугольник.

Тогда высота трапеции равна: $CH = HD = AD - AH = AD - BC = 6 - 2 = 4$

Найдём площадь трапеции:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = 4\cdot4 = 16$$

1. Найдём высоту трапеции:

$CH = h$

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$ $$64 = \frac{12 + 4}{2} \cdot h$$ $$64 = 8h$$ $$h = 8$$

1. Найдём острый угол: $$HD = AD - BC = 12 - 4 = 8$$ В прямоугольном треугольнике $CHD$: $$\tan \angle CDH = \frac{CH}{HD} = \frac{8}{8} = 1$$ $$\angle CDH = \arctg 1 = 45^\circ$$