Описанные окружности

Рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является смежным с углом $ADC$ этого треугольника и равен половине дуги на которую опирается.

$$\angle ADB = \frac{\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{AB}}{2} = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ$$

Тогда угол $\angle ACD$ равен:

$$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$$

Угол $DAE$ вписанный и равен половине дуги на которую опирается:

$$\angle DAE = \angle DAC= \frac{\overset{\hspace{1em} \smile \hspace{0.6em}}{DE}}{2} = 19^\circ$$

Найдём угол $ACB$:

$$\angle ACB = \angle ACD = 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC = 180^\circ - 121^\circ - 19^\circ = 40^\circ$$

Воспользуемся теоремой синусов. Так как треугольник $ABC$ правильный, все его углы равны по $60^\circ$.

$$\frac{AC}{\sin ABC} = \frac{CB}{\sin CAB} = \frac{AB}{\sin ACB} = 2\cdot R \Leftrightarrow R = \frac{AB}{2\cdot\sin ACB} =$$ $$= \frac{\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}} = 1$$

Воспользуемся теоремой синусов. Так как треугольник $ABC$ правильный, все его углы равны по $60^\circ$.

$$\frac{AC}{\sin ABC} = \frac{CB}{\sin CAB} = \frac{AB}{\sin ACB} = 2\cdot R \Leftrightarrow AB = 2\cdot R\cdot\sin ACB =$$ $$= 2\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3$$

Так как треугольник правильный, все его стороны равны между собой и все углы равны $60^\circ$

Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AC}{\sin ABC} = 2\cdot R \Leftrightarrow R = \frac{AC}{2\cdot\sin ABC} = \frac{CH}{2\cdot\sin ABC\cdot\sin CAH } =$$ $$= \frac{CH}{2\cdot\sin ABC \cdot\sin CAB} = \frac{CH}{2\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$$

Так как треугольник правильный, все его стороны равны между собой и все углы равны $60^\circ$

Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AC}{\sin ABC} = \frac{CH}{\sin CAH\cdot\sin ABC} = 2\cdot R \Leftrightarrow CH = 2\cdot R\cdot\sin CAH\cdot\sin ABC =$$ $$= 2\cdot R\cdot\sin CAB\cdot\sin ABC = 2\cdot3\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac{9}{2} = 4,5$$