Финансовая математика

Математическая модель

Пусть:

• $S = 4,2$ млн. руб. — сумма кредита.
• $x = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга.
• $N$ — размер выплат в 2020 и 2021 годах.

Из условия для 2021 года: $$(Sx - N)x - N = 0 \Rightarrow N = \frac{Sx^2}{1 + x}$$

Общие выплаты: $$3(Sx - S) + 2N = 6,1$$ Подставляем $N$: $$3(4,2x - 4,2) + 2 \cdot \frac{4,2x^2}{1 + x} = 6,1$$

Упрощаем уравнение: $$12,6x - 12,6 + \frac{8,4x^2}{1 + x} = 6,1$$ $$\frac{8,4x^2}{1 + x} = 18,7 - 12,6x$$ $$8,4x^2 = (1 + x)(18,7 - 12,6x)$$ $$21x^2 - 6,1x - 18,7 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$x = 1,1 \Rightarrow r = 10\%$$

Ответ: 10

Математическая модель

1. Уравнение для полного погашения в 2021 году: $$1.2(1.2S - 360) - 360 = 0$$ $$1.44S - 432 - 360 = 0$$ $$1.44S = 792$$ $$S = \frac{792}{1.44} = 550 \text{ тыс. руб.}$$

2. Выплаты:

• 2017-2019: $3 \times 0.2 \times 550 = 330$ тыс. руб.
• 2020-2021: $2 \times 360 = 720$ тыс. руб.

1. Общая сумма выплат: $$330 + 720 = 1050 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 1050

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1$
2. Второй год: - Начало: $S \cdot 1.1$ - Конец: $S \cdot 1.1^2 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 5$ (пополнение на 5 млн) - Конец: $(1.21S + 5) \cdot 1.1 = 1.331S + 5.5$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 5.5 + 5 = 1.331S + 10.5$ (пополнение на 5 млн) - Конец: $(1.331S + 10.5) \cdot 1.1 = 1.4641S + 11.55$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 11.55$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $5 + 5 = 10$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} > 10$$ $$(1.4641S + 11.55) - S - 10 > 10$$ $$0.4641S + 1.55 > 10$$ $$0.4641S > 8.45$$ $$S > \frac{8.45}{0.4641} \approx 18.207$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, минимальное подходящее значение $S = 19$ млн рублей.

Ответ 19

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1 = 1.1S$
2. Второй год: - Начало: $1.1S$ - Конец: $1.1S \cdot 1.1 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 10$ (пополнение на 10 млн) - Конец: $(1.21S + 10) \cdot 1.1 = 1.331S + 11$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 11 + 10 = 1.331S + 21$ (пополнение на 10 млн) - Конец: $(1.331S + 21) \cdot 1.1 = 1.4641S + 23.1$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 23.1$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $10 + 10 = 20$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} < 15$$ $$(1.4641S + 23.1) - S - 20 < 15$$ $$0.4641S + 3.1 < 15$$ $$0.4641S < 11.9$$ $$S < \frac{11.9}{0.4641} \approx 25.64$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, наибольшее подходящее значение $S = 25$ млн рублей.

Ответ 25

Пусть $S$ — первоначальный вклад (в млн рублей). Рассмотрим динамику изменения вклада по годам:

1. Первый год: - Начало: $S$ - Конец: $S \cdot 1.1$
2. Второй год: - Начало: $S \cdot 1.1$ - Конец: $S \cdot 1.1^2 = 1.21S$
3. Третий год: - Начало: $1.21S + 3$ (пополнение на 3 млн) - Конец: $(1.21S + 3) \cdot 1.1 = 1.331S + 3.3$
4. Четвертый год: - Начало: $1.331S + 3.3 + 3 = 1.331S + 6.3$ (пополнение на 3 млн) - Конец: $(1.331S + 6.3) \cdot 1.1 = 1.4641S + 6.93$

Общая сумма в конце 4 лет: $1.4641S + 6.93$ млн рублей.

Суммарные пополнения: $3 + 3 = 6$ млн рублей.

Начисленные проценты вычисляются как: $$\text{Итоговая сумма} - \text{Первоначальный вклад} - \text{Пополнения} > 5$$ $$(1.4641S + 6.93) - S - 6 > 5$$ $$0.4641S + 0.93 > 5$$ $$0.4641S > 4.07$$ $$S > \frac{4.07}{0.4641} \approx 8.77$$

Поскольку $S$ должно быть целым числом млн рублей, минимальное подходящее значение $S = 9$ млн рублей.

Проверка

Проверим для $S = 9$ млн рублей:

• Конец 1 года: $9 \cdot 1.1 = 9.9$
• Конец 2 года: $9.9 \cdot 1.1 = 10.89$
• Начало 3 года: $10.89 + 3 = 13.89$
• Конец 3 года: $13.89 \cdot 1.1 = 15.279$
• Начало 4 года: $15.279 + 3 = 18.279$
• Конец 4 года: $18.279 \cdot 1.1 \approx 20.1069$

Начисленные проценты: $20.1069 - 9 - 6 = 5.1069 > 5$ млн рублей — условие выполняется.

Для $S = 8$ млн рублей: $$1.4641 \cdot 8 + 6.93 - 8 - 6 \approx 4.84 < 5$$ — условие не выполняется.

Ответ 9