Текстовые задачи

Пусть $x$ — пропускная способность первой трубы (л/мин). Тогда вторая труба пропускает $x + 1$ л/мин. Составим таблицу согласно условию задачи:

Разница во времени составляет 2 минуты: $$\frac{110}{x} - \frac{99}{x + 1} = 2$$ $$110(x + 1) - 99x = 2x(x + 1)$$ $$110x + 110 - 99x = 2x^2 + 2x$$ $$11x + 110 = 2x^2 + 2x \Rightarrow 2x^2 - 9x - 110 = 0$$ $$D = 81 + 880 = 961$$ $$x = \frac{9 \pm 31}{4} \Rightarrow x = 10, \quad x = -5.5$$

Так как пропускная способность положительна: $x = 10$.

Пусть $x$ — пропускная способность второй трубы (л/мин). Тогда первая труба пропускает $x - 5$ л/мин. Составим таблицу согласно условию задачи:

Разница во времени составляет 10 минут: $$\frac{500}{x - 5} - \frac{375}{x} = 10$$ $$500x - 375(x - 5) = 10x(x - 5)$$ $$500x - 375x + 1875 = 10x^2 - 50x$$ $$125x + 1875 = 10x^2 - 50x \Rightarrow 10x^2 - 175x - 1875 = 0$$ $$2x^2 - 35x - 375 = 0$$ $$D = 1225 + 3000 = 4225$$ $$x = \frac{35 \pm 65}{4} \Rightarrow x = 25, \quad x = -7.5$$

Так как пропускная способность положительна: $x = 25$.

Пусть $x$ — скорость течения реки. Тогда скорость баржи по течению равна $7 + x$, а против течения — $7 - x$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $16 - 10 - 1\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$ часа. Составим уравнение: $$\frac{15}{7 + x} + \frac{15}{7 - x} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{15(7 - x) + 15(7 + x)}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{210}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$ $$630 = 14(49 - x^2) \Leftrightarrow 630 = 686 - 14x^2$$ $$14x^2 = 56 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$$

Так как скорость течения положительна: $x = 2$.

Пусть $x$ — скорость баржи на пути из A в B. Тогда скорость на обратном пути равна $x + 3$. Составим таблицу:

Составим уравнение относительно времени: $$\frac{390}{x} = \frac{390}{x + 3} + 9$$ $$390(x + 3) = 390x + 9x(x + 3)$$ $$390x + 1170 = 390x + 9x^2 + 27x$$ $$9x^2 + 27x - 1170 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 3x - 130 = 0$$ $$D = 9 + 520 = 529$$ $$x = \frac{-3 \pm 23}{2} \Rightarrow x = 10, \quad x = -13$$

Так как скорость положительна: $x = 10$.

Количество жителей в 2009 году: $$40000 \times 1.08 = 43200 \text{ человек.}$$

Количество жителей в 2010 году: $$43200 \times 1.09 = 47088 \text{ человек.}$$