Прямоугольные треугольники

Пусть меньший катет $x$, тогда больший $x + 2$.

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}x(x + 2) = 24$$ $$x(x + 2) = 48$$ $$x^2 + 2x - 48 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 4 + 192 = 196$$ $$x = \frac{-2 \pm 14}{2}$$ $$x_1 = 6,\quad x_2 = -8$$

Так как длина положительна: $$x = 6$$

Заметим, что $\angle A = \angle BCH \Rightarrow \tg A = \tg BCH$

Тогда:

$$AH = \frac{CH}{\tg A} = \frac{\frac{BH}{\tg A}}{\tg A} = BH\cdot\frac{9}{4} = 12\cdot\frac{9}{4} = 27$$

Заметим, что $\angle A = \angle BCH \Rightarrow \sin A = \sin BCH$

Тогда:

$$BC = \frac{BH}{\sin A} = BH\cdot\frac{3}{2} = 18$$

$$AB = \frac{BC}{\sin A} = 18\cdot\frac{3}{2} = 27$$

Из определения косинуса: $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3}$$

Из подобия треугольников $ABC$ и $ACH$: $$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AC^2 = AB \cdot AH$$

Подставляем известные значения: $$\left(\frac{2}{3}AB\right)^2 = AB \cdot 12$$ $$\frac{4}{9}AB^2 = 12AB$$ $$AB = 27$$

Заметим, что $\angle BCH = \angle A \Rightarrow \tg A = \tg BCH$

Тогда:

$$BH = CH\tg A = AH \tg A\tg A = AH \tg^2 A = 27\cdot\left(\frac{4}{9}\right) = 12$$