Механика

Ищем путь $S$: $$a = \frac{v-v_0}{t}$$ $$S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$ Подставляем: $$a = \frac{40-10}{20} = 1,5~\text{м/с}^2$$ $$S = 10\cdot 20 + \frac{1,5 \cdot 20^2}{2} = 500~\text{м}$$

Ответ: $S = 500~\text{м}$

Скорость увеличилась в 4 раза: $v = 4v_0$, ускорение: $a = \frac{v-v_0}{t} = \frac{3v_0}{4}$. Путь: $$S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$ $$S = v_0 t + \frac{3v_0}{4} \cdot \frac{t^2}{2}$$ $$S = 4v_0 + \frac{3v_0}{4} \cdot 8 = 4v_0 + 6v_0 = 10v_0$$ $$v_0 = \frac{100}{10} = 10~\text{м/с}$$

Ответ: $v_0 =10~\text{м/с}$

Ищем путь $S$: $$a = \frac{v-v_0}{t}$$ $$S = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$ Подставляем: $$a = \frac{15-5}{10} = 1~\text{м/с}^2$$ $$S = 5 \cdot 10 + \frac{1 \cdot 10^2}{2} = 50 + 50 = 100~\text{м}$$

Ответ: $S = 100~\text{м}$

Рассмотрим задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли. Примем брусок и груз за материальные точки (движение поступательное). Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторном виде и в проекциях:

$$m_1 \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}1},\qquad m_2 \vec{a}_2 = m_2 \vec{g} + \vec{T}_2$$

Вдоль осей: $$OX:\quad m_1 a_1 = T_1 - F_{\text{тр}1}$$ $$OY:\quad 0 = -N_1 + m_1 g,\qquad m_2 a_2 = m_2 g - T_2$$ Пусть $T_1 = T_2 = T$ (нить невесома), $a_1 = a_2 = a$ (нить нерастяжима). Подставим: $$m_1 a = T - F_{\text{тр}1},\qquad m_2 a = m_2 g - T$$

Сложим системы: $$(m_1 + m_2)a = m_2 g - F_{\text{тр}1}$$

Учитываем, что $F_{\text{тр}1} = \mu N_1 = \mu m_1 g$ (освобождение по $OY$). Тогда $$a = \frac{m_2 g - F_{\text{тр}1}}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 g - \mu m_1 g}{m_1 + m_2}$$

Для чисел: $$a = \frac{0.3 \cdot 10 - 0.1 \cdot 1.2 \cdot 10}{1.2 + 0.3} = \frac{3 - 1.2}{1.5} = \frac{1.8}{1.5} = 1.2~\text{м/с}^2$$

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела: $$m_1 \cdot \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \cdot \vec{g}, \qquad m_2 \cdot \vec{a}_2 = m_2 \cdot \vec{g} + \vec{T}_2$$

В проекциях на оси координат: $$OX: \quad m_1 a_1 = T_1 - m_1 g \sin \alpha,$$ $$OY: \quad -m_2 a_2 = T_2 - m_2 g,$$ где $T_1 = T_2 = T$ — сила натяжения нити, $a_1 = a_2 = a$, так как тела соединены нерастяжимой нитью.

Решим систему: $$m_1 a = T - m_1 g \sin \alpha$$ $$m_2 a = m_2 g - T$$ Сложим уравнения: $$(m_1 + m_2)a = T - m_1 g \sin \alpha + m_2 g - T \implies a = \frac{(m_2 - m_1 \sin \alpha)g}{m_1 + m_2}$$ Если подставить числа: $$a =6,25 ~\text{м/с}^2$$

Ответ: $a =6,25 ~\text{м/с}^2$