Механика

Рассмотрим задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли. Примем брусок и груз за материальные точки (движение поступательное). Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторном виде и в проекциях:

$$m_1 \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}1},\qquad m_2 \vec{a}_2 = m_2 \vec{g} + \vec{T}_2$$

Вдоль осей: $$OX:\quad m_1 a_1 = T_1 - F_{\text{тр}1}$$ $$OY:\quad 0 = -N_1 + m_1 g,\qquad m_2 a_2 = m_2 g - T_2$$ Пусть $T_1 = T_2 = T$ (нить невесома), $a_1 = a_2 = a$ (нить нерастяжима). Подставим: $$m_1 a = T - F_{\text{тр}1},\qquad m_2 a = m_2 g - T$$

Сложим системы: $$(m_1 + m_2)a = m_2 g - F_{\text{тр}1}$$

Учитываем, что $F_{\text{тр}1} = \mu N_1 = \mu m_1 g$ (освобождение по $OY$). Тогда $$a = \frac{m_2 g - F_{\text{тр}1}}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 g - \mu m_1 g}{m_1 + m_2}$$

Для чисел: $$a = \frac{0.3 \cdot 10 - 0.1 \cdot 1.2 \cdot 10}{1.2 + 0.3} = \frac{3 - 1.2}{1.5} = \frac{1.8}{1.5} = 1.2~\text{м/с}^2$$

Ответ: $a = 1.2~\text{м/с}^2$

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела: $$m_1 \cdot \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \cdot \vec{g}, \qquad m_2 \cdot \vec{a}_2 = m_2 \cdot \vec{g} + \vec{T}_2$$

В проекциях на оси координат: $$OX: \quad m_1 a_1 = T_1 - m_1 g \sin \alpha,$$ $$OY: \quad -m_2 a_2 = T_2 - m_2 g,$$ где $T_1 = T_2 = T$ — сила натяжения нити, $a_1 = a_2 = a$, так как тела соединены нерастяжимой нитью.

Решим систему: $$m_1 a = T - m_1 g \sin \alpha$$ $$m_2 a = m_2 g - T$$ Сложим уравнения: $$(m_1 + m_2)a = T - m_1 g \sin \alpha + m_2 g - T \implies a = \frac{(m_2 - m_1 \sin \alpha)g}{m_1 + m_2}$$ Если подставить числа: $$a =6,25 ~\text{м/с}^2$$

Ответ: $a =6,25 ~\text{м/с}^2$

Сила тяжести рычага приложена к его середине. Так как $b < L/2$, центр тяжести рычага находится правее точки подвеса груза $m_1$. На рычаг действуют силы: тяжесть рычага $m_2 g$, тяжесть груза $m_1 g$ и приложенная сила $F$ (см. рисунок). Реакцию опоры $N$ в точке $O$ не учитываем, потому что её момент относительно точки вращения равен нулю.

Рассмотрим плечи сил:

• Плечо силы тяжести груза $m_1 g$ равно $OA = b$. Момент этой силы поворачивает рычаг относительно $O$ по часовой стрелке: $$M_1 = -m_1 g b$$

• Плечо силы тяжести самого рычага $m_2 g$ — это $OC = \frac{L}{2}$. Момент силы также по часовой стрелке: $$M_2 = -m_2 g \cdot \frac{L}{2}$$

• Плечо приложенной силы $F$ — $OB = L$. Момент против часовой стрелки: $$M_3 = F \cdot L$$

Формулируем условие равновесия относительно точки $O$: $$M_1 + M_2 + M_3 = 0$$ $$- m_1 g b - m_2 g \frac{L}{2} + F L = 0$$

Выразим $m_2$: $$m_2 g \frac{L}{2} = F L - m_1 g b$$ $$m_2 = 2\frac{F L - m_1 g b}{g L}$$

Подставляя значения из условия, найдём: $$m_2 = 20~\text{кг}$$

Ответ: $m_2 = 20~\text{кг}$

На стержень действуют сила тяжести шара $mg$, силы реакции левой стены $N_1$, силы реакции правой стены $N$, и сила реакции дна $N_3$ (см. рисунок). Боковые стенки и дно считаем абсолютно гладкими, поэтому сила трения равна нулю.

Пусть $l$ — длина стержня, $AB = BC = l/2$.

Рассмотрим условие равновесия моментов относительно точки $A$. Момент силы $N$ равен нулю, потому что линия действия этой силы проходит через точку $A$.

Плечо силы тяжести $mg$: $$OE = \frac{l}{2} \sin \alpha$$ $$M_1 = -m g \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha$$ (Минус, потому что сила пытается повернуть рычаг по часовой стрелке.)

Плечо силы $N$: $$AO = l \cos \alpha, \qquad M_2 = -N\cdot l \cos \alpha$$ (Тоже по часовой стрелке.)

Плечо силы $N_3$: $$OC = l \sin \alpha, \qquad M_3 = N_3 \cdot l \sin \alpha$$ (Против часовой стрелки.)

Запишем общее условие равновесия по моментам: $$M_1 + M_2 + M_3 = 0$$ $$-m g \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha - N \cdot l \cos \alpha + N_3 \cdot l \sin \alpha = 0$$

Разделим обе части на $l$: $$-m g \cdot \frac{1}{2} \sin \alpha - N \cos \alpha + N_3 \sin \alpha = 0 \tag{1}$$

Теперь учтём сумму всех сил — система находится в равновесии: $$\vec{N}_1 + \vec{N} + \vec{N}_3 + m \vec{g} = 0$$

Направим оси $OY$ вверх, а ось $OX$ вправо: $$OY: \qquad -m g + N_3 = 0$$ $$N_3 = m g \tag{2}$$ $$OX: \qquad N=N_1 \tag{3}$$

Подставим $N_3$ из (2) и $N_1 $ из (3) в (1): $$-m g \cdot \sin \alpha - 2N \cos \alpha + 2m g \sin \alpha = 0$$ $$N = \frac{m g \cdot \tan \alpha}{2}$$

Ответ: $N = 15~\text{Н}$

Пусть общая высота льдины $H$, тогда высота погружённой части равна $H-h$, а объём тела $V=HS$. На льдину действуют сила Архимеда $F_A$ и сила тяжести $mg$.

Запишем второй закон Ньютона для равновесия: $$F_A-mg=0.$$

Силу Архимеда выражаем через объём вытесненной жидкости: $$F_A=\rho g V_{\text{погр}},\qquad V_{\text{погр}}=(H-h)S,$$ где $\rho$ — плотность жидкости (воды). Масса льдины $$m=\rho_{\ell} H S,$$ где $\rho_{\ell}$ — плотность льда.

Подставляя в равновесие и сокращая $gS$: $$\rho(H-h)=\rho_{\ell}H \;\Rightarrow\; H=\frac{\rho}{\rho-\rho_{\ell}}\,h.$$

Тогда масса $$m=\rho_{\ell}HS =\rho_{\ell}\,\frac{\rho}{\rho-\rho_{\ell}}\,hS.$$

Подстановка чисел: $$\rho=1000\ \text{кг/м}^3,\quad \rho_{\ell}=900\ \text{кг/м}^3,\quad h=0{,}04\ \text{м},\quad S=2500\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2=0{,}25\ \text{м}^2.$$

$$m=\frac{1000\cdot 900}{1000-900}\cdot 0{,}04\cdot 0{,}25 =90\ \text{кг}.$$

Ответ: $m=90\ \text{кг}.$